1.Teoria elementar dos conjuntos: subconjuntos, união, intersecção, diferença, complementar.



12:58 - 27.06 Bem, assim como a maioria dos conteúdos que estou fazendo por enquanto minha inicial preocupação é que tenha ao menos o conteúdo básico e aos poucos vou complementando, nosso conteúdo foco do dia em matemática será: Conjuntos. O importante que devemos compreender sobre conjuntos é sua contextualização, é algo bastante "tocável", pois pode fazer parte facilmente do nosso cotidiano, existe uma necessidade nata do ser humano de agrupar, de ordenar e é isso que esse conteúdo faz.

Começaremos pela Teoria elementar dos Conjuntos Quando pensamos em conjuntos a primeira coisa que devemos saber é o que são CONJUNTOS

DEFINIÇÃO: É o agrupamento de elementos com características comuns
O nome dos conjuntos sempre serão dados por uma letra maiúscula do alfabeto, por exemplo: A, B , C ... Z. Eles representam um agrupamento de coisas como por exemplo, um conjunto de estados brasileiros que seriam formados A = {Amazonas, Pará, Roraima, Rondônia, Acre, Tocantins,...}

Olhando no mapa os estados que pertencem ao conjunto poderemos ver que Tocantins faz parte do conjunto de estados brasileiros, a notação que utilizamos para descrever que algum elemento faz parte é o   (lê-se pertence), logo Tocantis  ao conjunto A.

As principais formas de descrever um conjunto são as seguintes:
Por extenso: A={0,1,2,3..}
Por descrição: P={x|x é par}
Por diagrama de Venn- Euler

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Outra coisa que devemos saber sobre os conjuntos é que ele pode ser formado por um número finito ( que dizer que ele tem fim) de elementos ou infinito ( que dizer que ele não tem fim) de elementos.

Ele pode ser unitário - o próprio nome já diz - formado por um único elemento : Y = {x|x é par e primo} = {2}

Pode ser vazio - caso não tenha nenhum elemento com a característica procurada: W={x|x é par e ímpar}


Alguns símbolos que precisa compreender:
: pertence : existe
: não pertence : não existe
: está contido : para todo (ou qualquer que seja)
: não está contido : conjunto vazio
: contém N: conjunto dos números naturais
: não contém Z : conjunto dos números inteiros
/ : tal que Q: conjunto dos números racionais
: implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais
: se, e somente se R: conjunto dos números reais


  •  (não pertence) esse simbolo serve para representar que um certo elemento não pertence a um determinado conjunto. por exemplo. A = { a, b, c, d} , logo a letra A


Conjunto dos Números Naturais

Conjunto dos Números Inteiros

Note também que e que .

Conjunto dos Números Racionais


O conjunto dos número racionais é representado pela letra Q ( ).

Conjunto dos Números Irracionais


A letra I ( ) representa o conjunto dos número irracionais.


Conjunto dos Números Reais

número natural também é um número inteiro ( ), assim como um número inteiro também é um número racional ( ), portanto .
Vimos também que os números racionais não estão contidos no conjunto dos números irracionais e vice-versa. A intersecção destes conjuntos resulta no conjunto vazio:
A intersecção é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a todos os conjuntos envolvidos. Sejam dois conjuntos e , a intersecção entre estes dois conjuntos será .
O conjunto dos números reais é representado pela letra R ( ) e é formado pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais, que simbólicamente representamos por: .
A união é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos envolvidos. Sejam dois conjuntos e , a união entre estes dois conjuntos será .
O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números reais ( ), assim como o conjunto dos números irracionais também é subconjunto do conjunto dos números reais ( ).
Através dos caracteres especiais "+" e "*", por exemplo, podemos representar o conjunto dos números reais positivos por .
Abaixo temos um exemplo de conjunto contendo número reais:


Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou .

    Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja AB. Observações:
  • Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ;
  • O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja

União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:

Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:

Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja




Propriedades da relação ⊆
esse símbolo é o "estar contido"

A relação de inclusãoo de conjuntos ⊆ obedece as seguintes propriedades. Para quaisquer X, Y e Z,

 (Reflexiva) X ⊆ X - ou seja, um elemento sempre está contido nele mesmo, 
 (transitiva) X ⊆ Y e Y ⊆ Z =⇒ X ⊆ Z , se X está contido em Y, e Y está contido em Z, logo X está contido em Z.
I3. (anti-simétrica) X ⊆ Y e Y ⊆ X =⇒ X = Y - se X está contido em Y e Y está contido em X, logo X é igual a Y.
∅ ⊆ X o vazio está contido em X,
X ⊆ U X está contido do Conjunto Universo.


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