8. Matrizes: operações, propriedades, inversa. Determinantes e propriedades. Matriz associada a um sistema de equações lineares; resolução e discussão





8. Matrizes: operações, propriedades, inversa. Determinantes e propriedades. Matriz associada a um sistema de equações lineares; resolução e discussão de sistemas lineares.

17:54 29.07 Boa tarde/noite hoje falaremos sobre um dos assuntos que eu mais gosto em matemática, já peguei tantos livros sobre e fiz tantas questões que eu realmente tenho um amor todo especial por esse conteúdo. Matrizes é algo realmente fantástico e é algo que realmente precisamos compreender e pronto.


Iniciaremos pela parte mais lógica da explicação, saberemos agora o que é uma matriz que nada mais é uma forma representativa, organizada em linhas e colunas e que é aplicada principalmente em sistemas operacionais, funcionando para ajudar a engenharia, matemática e muitas outras que regem o mundo. rs,

DEFINIÇÃO: Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n (indica-se mxn) toda a tabela M formado por números reais distribuídos em m linhas e n colunas.

Abaixo tem um exemplo de representação de uma matriz comum, na qual temos a posição das linhas e quais seriam as colunas.


Comumente chamamos cada elemento de uma matriz, de aij, no qual o i representa qual linha estamos nos referindo e o j qual coluna. Com a convenção de que as linhas sejam numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita. (como mostra a figura acima)

Uma matriz M do tipo mxn pode também ser indicada por M = (aij); i E {1, 2, 3, 4, ..., m} e j E {1, 2, 3 ,4 ..., n}, ou simplesmente M = (aij) mxn



 A = \begin{bmatrix}     a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\     a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\     a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}     \end{bmatrix}


Matrizes especiais

1. Matriz linha é toda matriz do tipo 1 x n, ou seja formada apenas por 1 linha.

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2. Matriz Coluna é toda matriz do tipo m x 1, ou seja formada apenas por 1 coluna.

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3. Matriz nula é toda matriz em que todos seus elementos são nulos, ou seja, iguais a zero.


Igualdade entre matrizes.

Da forma mais prática possível duas matrizes são iguais quando todos os elementos da primeira matriz são iguais a todos os elementos da segunda matriz
Vamos observar a matriz abaixo:



Percebemos que ambas são formadas por 3 linhas e duas colunas, o primeiro elemento o a11 de ambas é igual a -50, o a12 é igual a 11 e assim acontece com todos elementos, logo dizemos que a matriz A é igual a matriz B. Matriz identidade

I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.

Matriz Transposta

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, A^t = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}
Multiplicação envolvendo escalar

2   \begin{bmatrix}     1 & 8 & -3 \\     4 & -2 & 5   \end{bmatrix}  =    \begin{bmatrix}     2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\     2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5   \end{bmatrix}  =    \begin{bmatrix}     2 & 16 & -6 \\     8 & -4 & 10   \end{bmatrix}

Adição e subtração de matrizes


   \begin{bmatrix}     1 & 3 & 2 \\     1 & 0 & 0 \\     1 & 2 & 2   \end{bmatrix} +   \begin{bmatrix}     0 & 0 & 5 \\     7 & 5 & 0 \\     2 & 1 & 1   \end{bmatrix}  =    \begin{bmatrix}     1+0 & 3+0 & 2+5 \\     1+7 & 0+5 & 0+0 \\     1+2 & 2+1 & 2+1   \end{bmatrix}  =    \begin{bmatrix}     1 & 3 & 7 \\     8 & 5 & 0 \\     3 & 3 & 3   \end{bmatrix}


Multiplicação de matrizes

 (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[n,j]

   \begin{bmatrix}     1 & 0 & 2 \\     -1 & 3 & 1 \\   \end{bmatrix} \times   \begin{bmatrix}     3 & 1 \\     2 & 1 \\     1 & 0   \end{bmatrix}  =    \begin{bmatrix}      (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\     (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\   \end{bmatrix}  =    \begin{bmatrix}     5 & 1 \\     4 & 2 \\   \end{bmatrix}

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